KAREKÖKLÜ SAYILAR
Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır.
Karesi 2 olan c doğal sayısını ele alalım.
a2 = 2 ise a sayısını a = şeklinde gösterebilir ve ‘karekök iki ‘diye okuyabiliriz.Acaba bu
sayısı hangi sayılar arasındadır?Bunu inceleyelim:
12 =1 1=1
(1,5)2 = 1,5 1,5=2.25 tir
O halde sayısı;1< <1,5
Buna göre sayısı 1 ile 1,5 arasındadır,sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel sayı değildir;çünkü iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz.
İşte sayı ekseni üzerinde görüntüsü olduğu halde,rasyonel olmayan , ,…gibi sayılara irrasyonel(rasyonel olmayan) sayılar denir.I ile gösterilir.
İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesinin birleşim kümesine de reel (gerçek) sayılar denir.
R=Q U I Q ∩ I =O
N Q R I R
R+=Pozitif reel sayılar
R-=Negatif reel sayılar
R= R- U {0} U R+
Reel sayılar sayı eksenini tamamen doldurur.Sayı doğrusunda her noktaya bir reel sayı karşı gelir,yani sayı doğrusu ile reel sayılar kümesi bire bir eşlenebilir.
a bir pozitif reel sayı olmak üzere; = b ifadesine kareköklü ifade denir.
a bir gerçek(reel) sayı ve m ,1 den büyük bir tamsayı ise sayısına ,a sayısının m inci kuvvetten kökü denir.m sayısına da kökün derecesi denir.
da, kök derecesi 2 dir.
sayısının reel sayı olup olmama durumlarını inceleyelim:
m, pozitif tek tamsayı ve a R ise sayısı bir reel sayıdır.
, , reel sayılardır.
m,pozitif çift tamsayı ve a R+ ise sayısı bir reel sayıdır.
, , reel sayılardır.
m pozitif çift tamsayı ve a R- ise sayısı bir reel sayı değildir.
, , reel sayılar değildir.
NOT: , , sayıları reel sayı değildir ;çünkü hiçbir reel sayının karesi –1,-4 ve –9 değildir.
25 48,4
2 2 =45 4 2=88
-4 5 -16 8
225 704
225 745 48 x 2=964
-704 4
4100 5856
KAREKÖK İÇİNDEKİ İFADENİN KÖK DIŞINA ÇIKARILMASI
Karekök içinde çarpım veya bölüm durumunda verilen ifadeler 2 veya 2 nin katı kuvvetinde yazılabilirse karekök dışına çıkarılabilirler.
a R+ ,m Z ise 2m = a2m/2 = am
a,b R+ ve b ≠ 0 ise 2.b2 = a.b 2/b2 = a/b dir.
a,b R+ ve n Z olmak üzere ; 2n.b = an.
Örnekler:
= 2 = 22/2 = 2
10 = 310/2 =35=243
4 /58 = 2.2/52.4 =72/54
a R için, 2 =
2 = = 2 = 3
KAREKÖKLÜ BİR SAYIYI a ŞEKLİNDE YAZMAK :
işleminin sonucu kaçtır?
48 2
24 2 = 2.22.3
12 2 = 2.2
6 2 = 4
3 3
1
3 işleminin sonucu kaçtır?
504 2
252 2 3 =3 2.2.32.7
126 2 = 3.2.3.
63 3 = 18
21 3
7 7
1
UYARI:Karekök dışına çıkarılan sayılar kökün önünde bulunan sayı ile çarpılarak yazılır.
KAREKÖK DIŞINDAKİ ÇARPANIN KÖK İÇİNE ALINMASI
Kareköklü bir sayının katsayısını kök içine almakiçin katsayının karesini kök içindeki sayı ile çarpar,kök içine yazarız.
a = 2.b
Örnek:
2 = 2.3 = =
RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜ
a,b R+ olmak üzere ,
= /
Örnekler:
= / = 2/ 2 =
= = 2/ 62 =
= = 2/ 2 = =
UYARI:Tam sayılı olan kesirler birleşik kesire çevrilerek pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır.
ONDALIK SAYILARIN KAREKÖKÜ
Ondalık sayıların virgülden sonraki basamak sayıları çift ise tam karekökleri olabalir:
Örnek:
= =
= =
= = 5 /
NOT: sayısının karekökünü pratik olarak şöyle alırız.Virgül yokmuş gibi kabul edersek, =2 dir.Oaha sonra virgülden sonraki her iki basamk için bir basamak sayıyı virgülle sağdan sola doğru ayırırız.
=0.2
Örnek:
= =0,003
1 2 3
KAREKÖKLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1)Toplama-Çıkarma
Kareköklü sayılarda toplama-çıkarma işlemi yapılırken karekök içindeki sayıların aynı olması veya aynı hale getirilmesi gerekir.Sonra ortak çarpan parantezine alınarak işlem yapılır.
+ - = (a+b-c)
+
Örnekler:
- - + işleminin sonucu nedir?
- + =
=
- - + - işleminin sonucu nedir?
Kök içlerini aynı yapmaya çalışmalıyız.
- + - = - + -
= + - -
= -
2)Çarpma
Körekök içinde verilen sayılar çarpılıp kök içine yazılır.Mümkünse kök dışına çıkarma işlemi yapılır.
a,b R+ ise , . = ; . = 2 =a ve . =
Örnekler:
- . = =
- . = = =
- . =
=
= 6.
=
Kareköklü sayının n kuvveti kök içindeki sayının n kuvvetidir.
( )2 = 2 ( )n = an n (x >0)
Örnek:
( )4 = 4 = = 5.5 = 25
NOT: ( + ). ( - ) = ( )2 – ( )2 = a – b
Örnek:
( + ). ( - ) = ( )2 – ( )2 = 7-3 = 4
3)Bölme
Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır.Sadeleştirmeler yapılıp,mümkünse kök dışına çıkarılır.
a,b R+ ve b 0 ise / = ve / = dır.
Örnekler:
- / =
- : = = = /2
- / = =
PAYDAYI RASYONEL YAPMA
Bölüm şeklindeki kareköklü bir ifadede, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapmak denir.Paydayı kökten kurtarmak için ;pay ve paydayı ,paydanın eşleniği ile çarparız.
nın eşleniği ve . =a dır.
( + ) nin eşleniği ( - ) ve ( + ). ( - ) = a – b dir.
( - ) nin eşleniği ( + ) dir.
( - b) nin eşleniği ( + b) dir.
- nin eşleniği 2 + + 2 dir.
+ nin eşleniği 2 - + 2 dir.
nin eşleniği dir.
m nin eşleniği n-m
1)Paydada varsa:
Pay ve paydayı ile çarparız.
Örnekler:
- 1/ = 1. / . = /2
- 5/ = 5. / . = /10 = / 2
2)Paydada + varsa :
Pay ve paydayı - ile çarparız.
Örnek:
5 5. (2 - )
=
( ). (2 - )
= 5. (2 - )
22 – ( )2
= 10 -
4 - 3
=10 - = 5(2 - )
BAZI KURALLAR:
1) n = an/m
2) = x , xm =a
3) . =
4) : =
5) - + = (a – b + c)
6) a > 0, b > 0, c > 0 m,n,k pozitif tam sayıdır.
2 . b = an
7) =
8) = 2. bk.c
9) =
10) =
11)( )n = a
12) ( )m = m
13) a R+ ise = n. b
14) p = =
15) =x ise x= 1+
2
16) =a+1
17) k =
Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır.
Karesi 2 olan c doğal sayısını ele alalım.
a2 = 2 ise a sayısını a = şeklinde gösterebilir ve ‘karekök iki ‘diye okuyabiliriz.Acaba bu
sayısı hangi sayılar arasındadır?Bunu inceleyelim:
12 =1 1=1
(1,5)2 = 1,5 1,5=2.25 tir
O halde sayısı;1< <1,5
Buna göre sayısı 1 ile 1,5 arasındadır,sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel sayı değildir;çünkü iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz.
İşte sayı ekseni üzerinde görüntüsü olduğu halde,rasyonel olmayan , ,…gibi sayılara irrasyonel(rasyonel olmayan) sayılar denir.I ile gösterilir.
İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesinin birleşim kümesine de reel (gerçek) sayılar denir.
R=Q U I Q ∩ I =O
N Q R I R
R+=Pozitif reel sayılar
R-=Negatif reel sayılar
R= R- U {0} U R+
Reel sayılar sayı eksenini tamamen doldurur.Sayı doğrusunda her noktaya bir reel sayı karşı gelir,yani sayı doğrusu ile reel sayılar kümesi bire bir eşlenebilir.
a bir pozitif reel sayı olmak üzere; = b ifadesine kareköklü ifade denir.
a bir gerçek(reel) sayı ve m ,1 den büyük bir tamsayı ise sayısına ,a sayısının m inci kuvvetten kökü denir.m sayısına da kökün derecesi denir.
da, kök derecesi 2 dir.
sayısının reel sayı olup olmama durumlarını inceleyelim:
m, pozitif tek tamsayı ve a R ise sayısı bir reel sayıdır.
, , reel sayılardır.
m,pozitif çift tamsayı ve a R+ ise sayısı bir reel sayıdır.
, , reel sayılardır.
m pozitif çift tamsayı ve a R- ise sayısı bir reel sayı değildir.
, , reel sayılar değildir.
NOT: , , sayıları reel sayı değildir ;çünkü hiçbir reel sayının karesi –1,-4 ve –9 değildir.
25 48,4
2 2 =45 4 2=88
-4 5 -16 8
225 704
225 745 48 x 2=964
-704 4
4100 5856
KAREKÖK İÇİNDEKİ İFADENİN KÖK DIŞINA ÇIKARILMASI
Karekök içinde çarpım veya bölüm durumunda verilen ifadeler 2 veya 2 nin katı kuvvetinde yazılabilirse karekök dışına çıkarılabilirler.
a R+ ,m Z ise 2m = a2m/2 = am
a,b R+ ve b ≠ 0 ise 2.b2 = a.b 2/b2 = a/b dir.
a,b R+ ve n Z olmak üzere ; 2n.b = an.
Örnekler:
= 2 = 22/2 = 2
10 = 310/2 =35=243
4 /58 = 2.2/52.4 =72/54
a R için, 2 =
2 = = 2 = 3
KAREKÖKLÜ BİR SAYIYI a ŞEKLİNDE YAZMAK :
işleminin sonucu kaçtır?
48 2
24 2 = 2.22.3
12 2 = 2.2
6 2 = 4
3 3
1
3 işleminin sonucu kaçtır?
504 2
252 2 3 =3 2.2.32.7
126 2 = 3.2.3.
63 3 = 18
21 3
7 7
1
UYARI:Karekök dışına çıkarılan sayılar kökün önünde bulunan sayı ile çarpılarak yazılır.
KAREKÖK DIŞINDAKİ ÇARPANIN KÖK İÇİNE ALINMASI
Kareköklü bir sayının katsayısını kök içine almakiçin katsayının karesini kök içindeki sayı ile çarpar,kök içine yazarız.
a = 2.b
Örnek:
2 = 2.3 = =
RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜ
a,b R+ olmak üzere ,
= /
Örnekler:
= / = 2/ 2 =
= = 2/ 62 =
= = 2/ 2 = =
UYARI:Tam sayılı olan kesirler birleşik kesire çevrilerek pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır.
ONDALIK SAYILARIN KAREKÖKÜ
Ondalık sayıların virgülden sonraki basamak sayıları çift ise tam karekökleri olabalir:
Örnek:
= =
= =
= = 5 /
NOT: sayısının karekökünü pratik olarak şöyle alırız.Virgül yokmuş gibi kabul edersek, =2 dir.Oaha sonra virgülden sonraki her iki basamk için bir basamak sayıyı virgülle sağdan sola doğru ayırırız.
=0.2
Örnek:
= =0,003
1 2 3
KAREKÖKLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1)Toplama-Çıkarma
Kareköklü sayılarda toplama-çıkarma işlemi yapılırken karekök içindeki sayıların aynı olması veya aynı hale getirilmesi gerekir.Sonra ortak çarpan parantezine alınarak işlem yapılır.
+ - = (a+b-c)
+
Örnekler:
- - + işleminin sonucu nedir?
- + =
=
- - + - işleminin sonucu nedir?
Kök içlerini aynı yapmaya çalışmalıyız.
- + - = - + -
= + - -
= -
2)Çarpma
Körekök içinde verilen sayılar çarpılıp kök içine yazılır.Mümkünse kök dışına çıkarma işlemi yapılır.
a,b R+ ise , . = ; . = 2 =a ve . =
Örnekler:
- . = =
- . = = =
- . =
=
= 6.
=
Kareköklü sayının n kuvveti kök içindeki sayının n kuvvetidir.
( )2 = 2 ( )n = an n (x >0)
Örnek:
( )4 = 4 = = 5.5 = 25
NOT: ( + ). ( - ) = ( )2 – ( )2 = a – b
Örnek:
( + ). ( - ) = ( )2 – ( )2 = 7-3 = 4
3)Bölme
Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır.Sadeleştirmeler yapılıp,mümkünse kök dışına çıkarılır.
a,b R+ ve b 0 ise / = ve / = dır.
Örnekler:
- / =
- : = = = /2
- / = =
PAYDAYI RASYONEL YAPMA
Bölüm şeklindeki kareköklü bir ifadede, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapmak denir.Paydayı kökten kurtarmak için ;pay ve paydayı ,paydanın eşleniği ile çarparız.
nın eşleniği ve . =a dır.
( + ) nin eşleniği ( - ) ve ( + ). ( - ) = a – b dir.
( - ) nin eşleniği ( + ) dir.
( - b) nin eşleniği ( + b) dir.
- nin eşleniği 2 + + 2 dir.
+ nin eşleniği 2 - + 2 dir.
nin eşleniği dir.
m nin eşleniği n-m
1)Paydada varsa:
Pay ve paydayı ile çarparız.
Örnekler:
- 1/ = 1. / . = /2
- 5/ = 5. / . = /10 = / 2
2)Paydada + varsa :
Pay ve paydayı - ile çarparız.
Örnek:
5 5. (2 - )
=
( ). (2 - )
= 5. (2 - )
22 – ( )2
= 10 -
4 - 3
=10 - = 5(2 - )
BAZI KURALLAR:
1) n = an/m
2) = x , xm =a
3) . =
4) : =
5) - + = (a – b + c)
6) a > 0, b > 0, c > 0 m,n,k pozitif tam sayıdır.
2 . b = an
7) =
8) = 2. bk.c
9) =
10) =
11)( )n = a
12) ( )m = m
13) a R+ ise = n. b
14) p = =
15) =x ise x= 1+
2
16) =a+1
17) k =
