Merhaba,
Her ne kadar bir nebze de olsa hayal kırıklığına uğramış olsam da, sebebine birazdan değineceğimin garantisini vererek yazılan tüm soruları cevaplamak istiyorum. Ayrıyeten soruları Türkçeleştireceğim.
Fonksiyonumuz, birimi nitelendirmek maksatlı bir "a" sabiti ile "x ve y" değişkenlerinin kompozisyonundan meydana gelmektedir. Değişkenlerimizin tamamı, R^2 uzayında aldıkları değerleri reel bir ifadeye götürmekte; kaba bir tabir ile R^3 uzayında hiperbolik paraboloid oluşturmaktadırlar. Fonksiyonumuz ve grafiğinden çıkarımlarımızın bu kadarı yeterli.
İlgili fonksiyon, "x" ve "y" değişkenlerine bağımlı parçalı türevinden de anlayabileceğimiz üzere, değerlerden birinin sabit tutulması durumunda değeri dik kesen R^2 düzleminde sabit bir eğimle artandır. Bu da bize, fonksiyon içerisindeki argümanlardan birinin sabit tutulması durumunda grafiğin doğrusallık taşıdığını gösterir.
"f(3/2, 3/2)" değerinin "9/4 * a" değerine, onun da "3/2"ye eşit olduğunu biliyoruz. O halde, "a" olarak isimlendirdiğimiz sabit, aslen "2/3" imiş. Biz, "x,y=9" için fonksiyonun değerinin arayışındayız. O halde, "f(9, 9) = 9^2 * 2/3 = 54" imiş. Cevabın, 54 olması gereklidir. İzahı da yukarıdadır.
Bu soruyu, bir önceki soru gibi modelleyemedik anlaşılmazlığından ötürü. Eğer ki soru sahibi, soruya ilişkin detayları bulma zahmetinden bizleri kurtarır ise çok daha yapıcı bir cevap verebilirim. An itibariyle bu pek de mümkün değil.
Anlayacağınız, terimleri araında sabit bir oran barındıran serilere literatürde geometrik seri ismi verilmekte. Ardışık iki terim arasındaki oran, herhangi bir başka ikili arasındakine eşittir. Tipik bir geometrik seriyi aşağıdaki işlemlere tabi tutalım.
Aslen geometrik serinin ta kendisiyle, aynı geometrik serinin oranıyla çarpılmış biçimi arasındaki fark; ilk terim ile yeni serideki son terim arasındaki farka eşit imiş. Eşitliğin diğer tarafında, ortak paranteze alınabilecek terimler de bulunmaktadır.
Artık elimizde, "n-terimli" bir geometrik dizinin toplamının değerini, sabit oran aracılığıyla veren bir formül bulunmakta. Elbette bu formülün yakınsama yahut ıraksama durumu, söz konusu sabit oranın değer aralığına bağlı olarak değişkenlik göstermekte.
Geometrik serinin terim sayısının sonsuza ıraksaması durumunda, sabit oranın değer aralığına bağlı olarak seri ya sonsuza ıraksamakta ya da bir değere yakınsamaktadır. Oranın sonsuza ıraksayan üssü, aslında bize değer aralığının (-1, 1) olması durumunda limitinin 0'a eşit olduğunu göstermekte; sonsuz miktarda küçülüm hareketinin en doğal sonucu. Ve evet, az evvel geometrik seri toplamının formülünü türettik. Bu türetme işlemi, ayrıyeten "Proof Without Words - Roger B. Nelsen" şu biçimde farklı bir yaklaşımla ele alınmıştır,
Gelelim sorumuza. Çevresi 16 ile başlayan ve adım adım azalmakta olan karelerin oluşturduğu sonsuz terimli kümenin alanları toplamının alacağı değeri bize sormakta. Karenin tek bir kenarı, çevresinin "1/4" oranına eşit olduğundan, ve çevre de her terimde "1/2" oranında azalış gösterdiğinden soruyu şu şekilde matematiksel notasyona aktarabiliriz,
Görebildiğimiz üzere, sabit oran "1/4", ilk terim ise "Ç^2/16" olarak belirlenmiş durumda. Oranın değer aralığında yer aldığını teyit ettiğimize göre, geometrik seri toplam formülünde değerleri yerine yazmamız durumunda elbette cevabı elde ederiz. Elbette "Ç=16".
Cevap, "64/3= 21+1/3 = 21,33333..." bulunur.
Sorunun notasyonu yukarıdaki gibidir. Aslen oldukça basit bir problem, sadece biraz farklı bir yaklaşım gerektirmekte. Değerleri ayrıştırıp düşünür isek aslında çözüm pekala ortadadır.
Eğer soruyu bana doğru ifade ettiyseniz, son adımdaki eşitliği sağlayan her "x, n" ikilisi bu sorunun cevabıdır. Ayrıyeten, "x" değerine bağımlı olarak "n" değeri değişkenlik göstermektedir. Tüm ikilileri veren bir fonksiyon yazmakla uğraşmaksızın, en basitinden "x=0" için "n"in alacağı değeri bularaktan soruyu noktalıyorum.
"25/3", "n"in değer kümesinin bir elemanıdır ve "x=0" için durumu sağlar.
_
Geriye kalan hiçbir muhabbete cevap vermek, muhalefet olmak istemiyorum. Konunun asıl amacı, kahve ortamı oluşturmaktan çok nezih bir biçimde matematik problemlerinin tartışılabileceği, derli bir ortam oluşturmak idi. En azından bu amaçla konuyu açma girişiminde bulunmuştum. Bu maksadımı anlayıp da destekleyenlere teşekkür ediyor, sözüm ona, sorularından ötürü minnettar olduğumu belirtmek istiyorum.
Ta en başında da belirttiğim gibi, bir nebze hayal kırıklığına uğradım. Sırf soru sormak için mesaj atmaktan öte; sahiden en başta kendinize olmak üzere diğerlerine de bir şeylerkatabilecek, ilgilisini soru üstüne düşünmeye sevkedecek, basmakalıbın ötesinde öğretici problemler beklerdim. Geyik döndürmenizden öte, geyiğin boynuzlarındaki matematiği ortaya koymanızı mesela. Derdimiz hala kümesteki hayvan olmamalıydı bana kalırsa. Cevabını bildiğiniz sorular değil, sizi ileriye taşıyacak olan henüz bilmediklerinizdir. İşte tam olarak bunlarla karşılaşmış olmayı dilerdim.
Teşekkür ederim, sevgilerle.
Her ne kadar bir nebze de olsa hayal kırıklığına uğramış olsam da, sebebine birazdan değineceğimin garantisini vererek yazılan tüm soruları cevaplamak istiyorum. Ayrıyeten soruları Türkçeleştireceğim.
Mantıki açıdan akla sığdırılamayacak bir soru olsa da, matematik gerçeklikle bağdaştırılamayan soyut durumları da ele alabildiğinden işin felsefesine değinmeksizin soruyu sayısal biçimden ele alacağız. Tavuk, yumurta falan filan; bu kavramlara takılı kalmayın, zira soru tipik bir çok değişkenli fonksiyon yorumuyla çözülmekte. Mantıksal bir çıkarımla, az çok fonksiyonun neye benzediğine ilişkin çıkarımda bulunabiliriz.
Fonksiyonumuz, birimi nitelendirmek maksatlı bir "a" sabiti ile "x ve y" değişkenlerinin kompozisyonundan meydana gelmektedir. Değişkenlerimizin tamamı, R^2 uzayında aldıkları değerleri reel bir ifadeye götürmekte; kaba bir tabir ile R^3 uzayında hiperbolik paraboloid oluşturmaktadırlar. Fonksiyonumuz ve grafiğinden çıkarımlarımızın bu kadarı yeterli.
İlgili fonksiyon, "x" ve "y" değişkenlerine bağımlı parçalı türevinden de anlayabileceğimiz üzere, değerlerden birinin sabit tutulması durumunda değeri dik kesen R^2 düzleminde sabit bir eğimle artandır. Bu da bize, fonksiyon içerisindeki argümanlardan birinin sabit tutulması durumunda grafiğin doğrusallık taşıdığını gösterir.
"f(3/2, 3/2)" değerinin "9/4 * a" değerine, onun da "3/2"ye eşit olduğunu biliyoruz. O halde, "a" olarak isimlendirdiğimiz sabit, aslen "2/3" imiş. Biz, "x,y=9" için fonksiyonun değerinin arayışındayız. O halde, "f(9, 9) = 9^2 * 2/3 = 54" imiş. Cevabın, 54 olması gereklidir. İzahı da yukarıdadır.
Şaka yapmıyorum, soruyu anlamadım. İşin aslı, ortada anlaşılabilir bir soru bile yok. Önceki soruyla arasında bir bağıntı var olduğunu düşünür isek, bu dahi herhangi bir çıkarımda bulunmaya elvermiyor. Başlangıçtaki tavuk sayısı oldukça önemli bir faktör, ayrıyeten çatlayan yumurtaların içerisindeki canlının üreme erginliğine ulaşabilmesi için gereken süre dahi soruyu direkt olarak etkilemekte. Soru, bilmemkaç günün sonunda bilmemkaç "tavuk" olduğunu söylemekte; kısacası yumurtlayan birey sayısı doğal olarak artış göstermeli. Eh, üretkenlik durumu var ise yumurtadan çıkan her bir bireyin cinsiyeti dahi verilmesi gereken bir unsur.
Bu soruyu, bir önceki soru gibi modelleyemedik anlaşılmazlığından ötürü. Eğer ki soru sahibi, soruya ilişkin detayları bulma zahmetinden bizleri kurtarır ise çok daha yapıcı bir cevap verebilirim. An itibariyle bu pek de mümkün değil.
Lise düzeyindeki öğrencilerin aşina olduğu, sıkça rastlanan bir geometrik seri toplamı sorusu. Her şeyden evvel, duruma uyarlayabileceğimiz genel bir formül türetmeli; sonrasında ise ilgili spesifik durumu bu formülden yola çıkarak cevaplandırmalıyız. Geometrik seri, tanımından ötürü en genel haliyle aşağıdaki formattadır,
Anlayacağınız, terimleri araında sabit bir oran barındıran serilere literatürde geometrik seri ismi verilmekte. Ardışık iki terim arasındaki oran, herhangi bir başka ikili arasındakine eşittir. Tipik bir geometrik seriyi aşağıdaki işlemlere tabi tutalım.
Aslen geometrik serinin ta kendisiyle, aynı geometrik serinin oranıyla çarpılmış biçimi arasındaki fark; ilk terim ile yeni serideki son terim arasındaki farka eşit imiş. Eşitliğin diğer tarafında, ortak paranteze alınabilecek terimler de bulunmaktadır.
Artık elimizde, "n-terimli" bir geometrik dizinin toplamının değerini, sabit oran aracılığıyla veren bir formül bulunmakta. Elbette bu formülün yakınsama yahut ıraksama durumu, söz konusu sabit oranın değer aralığına bağlı olarak değişkenlik göstermekte.
Geometrik serinin terim sayısının sonsuza ıraksaması durumunda, sabit oranın değer aralığına bağlı olarak seri ya sonsuza ıraksamakta ya da bir değere yakınsamaktadır. Oranın sonsuza ıraksayan üssü, aslında bize değer aralığının (-1, 1) olması durumunda limitinin 0'a eşit olduğunu göstermekte; sonsuz miktarda küçülüm hareketinin en doğal sonucu. Ve evet, az evvel geometrik seri toplamının formülünü türettik. Bu türetme işlemi, ayrıyeten "Proof Without Words - Roger B. Nelsen" şu biçimde farklı bir yaklaşımla ele alınmıştır,
Gelelim sorumuza. Çevresi 16 ile başlayan ve adım adım azalmakta olan karelerin oluşturduğu sonsuz terimli kümenin alanları toplamının alacağı değeri bize sormakta. Karenin tek bir kenarı, çevresinin "1/4" oranına eşit olduğundan, ve çevre de her terimde "1/2" oranında azalış gösterdiğinden soruyu şu şekilde matematiksel notasyona aktarabiliriz,
Görebildiğimiz üzere, sabit oran "1/4", ilk terim ise "Ç^2/16" olarak belirlenmiş durumda. Oranın değer aralığında yer aldığını teyit ettiğimize göre, geometrik seri toplam formülünde değerleri yerine yazmamız durumunda elbette cevabı elde ederiz. Elbette "Ç=16".
Cevap, "64/3= 21+1/3 = 21,33333..." bulunur.
Sorunun notasyonu yukarıdaki gibidir. Aslen oldukça basit bir problem, sadece biraz farklı bir yaklaşım gerektirmekte. Değerleri ayrıştırıp düşünür isek aslında çözüm pekala ortadadır.
Eğer soruyu bana doğru ifade ettiyseniz, son adımdaki eşitliği sağlayan her "x, n" ikilisi bu sorunun cevabıdır. Ayrıyeten, "x" değerine bağımlı olarak "n" değeri değişkenlik göstermektedir. Tüm ikilileri veren bir fonksiyon yazmakla uğraşmaksızın, en basitinden "x=0" için "n"in alacağı değeri bularaktan soruyu noktalıyorum.
"25/3", "n"in değer kümesinin bir elemanıdır ve "x=0" için durumu sağlar.
_
Geriye kalan hiçbir muhabbete cevap vermek, muhalefet olmak istemiyorum. Konunun asıl amacı, kahve ortamı oluşturmaktan çok nezih bir biçimde matematik problemlerinin tartışılabileceği, derli bir ortam oluşturmak idi. En azından bu amaçla konuyu açma girişiminde bulunmuştum. Bu maksadımı anlayıp da destekleyenlere teşekkür ediyor, sözüm ona, sorularından ötürü minnettar olduğumu belirtmek istiyorum.
Ta en başında da belirttiğim gibi, bir nebze hayal kırıklığına uğradım. Sırf soru sormak için mesaj atmaktan öte; sahiden en başta kendinize olmak üzere diğerlerine de bir şeylerkatabilecek, ilgilisini soru üstüne düşünmeye sevkedecek, basmakalıbın ötesinde öğretici problemler beklerdim. Geyik döndürmenizden öte, geyiğin boynuzlarındaki matematiği ortaya koymanızı mesela. Derdimiz hala kümesteki hayvan olmamalıydı bana kalırsa. Cevabını bildiğiniz sorular değil, sizi ileriye taşıyacak olan henüz bilmediklerinizdir. İşte tam olarak bunlarla karşılaşmış olmayı dilerdim.
Teşekkür ederim, sevgilerle.
