Permütasyon & Kombinasyon & Binom Açılımı
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE
BİNOM AÇILIMI
SAYMANIN TEMEL KURALLARI
Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.
s(A)= m , s(B)= n ve A ile B’nin kesişimi boş küme ise birleşimin eleman sayısı
s(A) + s(B)= m+ n’ dir.
O halde ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.
Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( ya bir bay veya bir bayan seçilecek )
Çözüm : 5 bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 yolla seçilebilir. Buna göre 5 bay ile 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan 5 + 3 = 8 yolla seçilebilir.
Çarpma Kuralı : n bir sayma sayısı olmak üzere a1, a2, a3, ....., an ile gösterilen n tane nesne için ( a1 , a2 )’ ye sıralı ikili, ( a1 , a2 , a3 )’e sıralı üçlü ... ( a1 , a2 , a3 , ... , an )’e sıralı n’li denir. Sıralı ikililerin kümesini A2 , Sıralı üçlülerin kümesini A3 , Sıralı dörtlülerin kümesini A4 .... şeklinde gösterelim.
A1 , A2 , A3 , ... , Ar kümelerinin elemanlarının sayısı n1 , n2 , n3 , ... , nr olsun. Bu durumda s ( A1.A2.A3... Ar )= s(A1 ). s(A2 ). s(A3 )... s(Ar ) = n1.n2.n3 ... nr olur.
Yukarıdaki genel kuralı iki işlem için açıklıyalım : iki işlemden biri m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir.
Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından1 bay ve 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( hem bir bay hem de bir bayan seçilecek )
Çözüm : 5 Bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 değişik şekilde yani 3 yolla seçilebilir. Yukarıda açıkladığımız kurala göre 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay ve 1 bayan 5.3 =15 yolla seçilebilir.
FAKTÖRİYEL
Tanım: 1’den n’e kadar olan tamsayıların çarpımına “n faktöriyle” denir ve n! Şeklinde gösterilir.
1.2.3.....n = n!
0!=1
1!=1
2!=1.2 = 2
3!=1.2.3.= 6
4!=1.2.3.4 = 24
Uyarı : n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
Yani 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.3.2!
9! = 9.8! = 9.8.7! = 9.8.7.6! = 9.8.7.5.5! gibi.
Örnek: 15! / 13! =?
Çözüm : 15 ve 13 arasında 15 sayısı 13 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. 15! = 15.14. 13! olur.
15! / 13! = 15.14. 13! / 13! = 15.14 bulunur.
Örnek: n! / (n - 2 )! =?
Çözüm : n ve n - 2 arasında n sayısı n-2 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. n! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! olur.
n! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ) bulunur.
Kural : n tane eşyayı n tane yere n! kadar farklı şekilde dizeriz.
Örnek: 6 tane ampul 6 tane yere kaç farklı şekilde takılabilir?
Çözüm : Açıklayıcı olması için ampüllere A , B , C ve D , yerlere 1 , 2 , 3 ve 4 diyelim. A ' dan başlayarak ampülleri takalım. A ampülü 4 yerden birine takılabilir. Yani A ampülünün takılması için 4 yol var. A ampülünü taktıktan sonra 3 ampül ve üç yer kalır. B ampülü 3 yerden birine takılabilir. Yani B ampülünün takılması için 3 yol var. A ve B ampülünü taktıktan sonra 2 ampül ve 2 yer kalır. C ampülü 2 yerden birine takılabilir. Yani C ampülünün takılması için 2 yol var. A , B ve C ampülünü taktıktan sonra 1 ampül ve 1 yer kalır. D ampülü 1 yere takılabilir. Yani D ampülünün takılması için 1 yol var. Çarpım kuralına göre bu 4 ampül yolların çarpımı kadar farklı şekilde takılabilir.
Yani 4.3.2.1 = 4! = 24 değişik takma şekli vardır.
Aşağıdaki sadeleştirmeleri yapınız.
1. (n-2)! (n+1)! / n!. (n - 1)!
2. n! . (n-1)! / (n - 2 )! .(n+ 1)!
3. (n+ 2)! (n+1)! (n-2)! /n! (n-3)! (n+2)!
Örnek: Farklı, 5 matematik ve 3 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecetir...
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE
BİNOM AÇILIMI
SAYMANIN TEMEL KURALLARI
Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.
s(A)= m , s(B)= n ve A ile B’nin kesişimi boş küme ise birleşimin eleman sayısı
s(A) + s(B)= m+ n’ dir.
O halde ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.
Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( ya bir bay veya bir bayan seçilecek )
Çözüm : 5 bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 yolla seçilebilir. Buna göre 5 bay ile 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan 5 + 3 = 8 yolla seçilebilir.
Çarpma Kuralı : n bir sayma sayısı olmak üzere a1, a2, a3, ....., an ile gösterilen n tane nesne için ( a1 , a2 )’ ye sıralı ikili, ( a1 , a2 , a3 )’e sıralı üçlü ... ( a1 , a2 , a3 , ... , an )’e sıralı n’li denir. Sıralı ikililerin kümesini A2 , Sıralı üçlülerin kümesini A3 , Sıralı dörtlülerin kümesini A4 .... şeklinde gösterelim.
A1 , A2 , A3 , ... , Ar kümelerinin elemanlarının sayısı n1 , n2 , n3 , ... , nr olsun. Bu durumda s ( A1.A2.A3... Ar )= s(A1 ). s(A2 ). s(A3 )... s(Ar ) = n1.n2.n3 ... nr olur.
Yukarıdaki genel kuralı iki işlem için açıklıyalım : iki işlemden biri m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir.
Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından1 bay ve 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( hem bir bay hem de bir bayan seçilecek )
Çözüm : 5 Bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 değişik şekilde yani 3 yolla seçilebilir. Yukarıda açıkladığımız kurala göre 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay ve 1 bayan 5.3 =15 yolla seçilebilir.
FAKTÖRİYEL
Tanım: 1’den n’e kadar olan tamsayıların çarpımına “n faktöriyle” denir ve n! Şeklinde gösterilir.
1.2.3.....n = n!
0!=1
1!=1
2!=1.2 = 2
3!=1.2.3.= 6
4!=1.2.3.4 = 24
Uyarı : n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
Yani 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.3.2!
9! = 9.8! = 9.8.7! = 9.8.7.6! = 9.8.7.5.5! gibi.
Örnek: 15! / 13! =?
Çözüm : 15 ve 13 arasında 15 sayısı 13 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. 15! = 15.14. 13! olur.
15! / 13! = 15.14. 13! / 13! = 15.14 bulunur.
Örnek: n! / (n - 2 )! =?
Çözüm : n ve n - 2 arasında n sayısı n-2 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. n! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! olur.
n! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ) bulunur.
Kural : n tane eşyayı n tane yere n! kadar farklı şekilde dizeriz.
Örnek: 6 tane ampul 6 tane yere kaç farklı şekilde takılabilir?
Çözüm : Açıklayıcı olması için ampüllere A , B , C ve D , yerlere 1 , 2 , 3 ve 4 diyelim. A ' dan başlayarak ampülleri takalım. A ampülü 4 yerden birine takılabilir. Yani A ampülünün takılması için 4 yol var. A ampülünü taktıktan sonra 3 ampül ve üç yer kalır. B ampülü 3 yerden birine takılabilir. Yani B ampülünün takılması için 3 yol var. A ve B ampülünü taktıktan sonra 2 ampül ve 2 yer kalır. C ampülü 2 yerden birine takılabilir. Yani C ampülünün takılması için 2 yol var. A , B ve C ampülünü taktıktan sonra 1 ampül ve 1 yer kalır. D ampülü 1 yere takılabilir. Yani D ampülünün takılması için 1 yol var. Çarpım kuralına göre bu 4 ampül yolların çarpımı kadar farklı şekilde takılabilir.
Yani 4.3.2.1 = 4! = 24 değişik takma şekli vardır.
Aşağıdaki sadeleştirmeleri yapınız.
1. (n-2)! (n+1)! / n!. (n - 1)!
2. n! . (n-1)! / (n - 2 )! .(n+ 1)!
3. (n+ 2)! (n+1)! (n-2)! /n! (n-3)! (n+2)!
Örnek: Farklı, 5 matematik ve 3 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecetir...