Pick Teoremi nedir?

hackishack

Katılımcı Üye
20 Haz 2020
824
158
Liverpool UK
PICK TEOREMİ

Öncelikle herkese selamlarımı ileteyim. Bugün çoğunuzun haberdar olmadığını düşündüğüm bu ilginç alan teoreminden bahsedeceğim.

Adı üstünde teorem olduğundan doğruluğu şartlar dahilinde kanıtlanmış diyebiliriz. Şimdi yavaştan geçelim. :)

Pick teoremi nedir? Ne işe yarar? sorularını sormakla başlayalım.

Pick teoremi Avusturyalı matematikçi Georg A. Pick’in (1859–1942) adını taşır. Bu teoremi bilmediğinizi varsayıyorum. Aşağıdaki resimde alanı nasıl bulurdunuz? (Her bir karenin alanı 1 olmak üzere.)


d94da02cb364a917de036ecf2b168e94.png


Ben tahmin edeyim. Şöyle mi?


3443dbf66c0bc27f76aa4235d7d64f0a.png


Yani, cevap 3+3/2+1+1+1+1+1/2=9'dur cevabını vermiş olmalısınız. Yoo ben böyle yapmadım demeyin hemen. :) Tabii ki bu şekilde değil de aşağıdaki gibi yapmış da olabilirsiniz.

ff9e1f6ae19f4cbd4dc7b1f604d24989.png


Bu şekilde yaptıysanız karenin alanından şekle dahil olmayan alanı çıkarıp 4*4-(2+2+1/2+1/2+1/2+1/2+1)=16-7=9 bulmuşsunuzdur. Gördüğünüz gibi farklı yollar mevcut ama biz buraya daha farklısını öğrenmek için gelmemiş miydik? Hadi o zaman gel.

Pick teoremi der ki, birtakım şartlara bağlı kalınması şartı ile Alan=İçerideki noktalar+Kenar üzerindeki noktaların yarısı-1

Biz bunu isterseniz formül halinde yazalım. İçerideki noktalar İ, Kenar üzerindeki noktalar K olmak üzere;


A=İ+K/2-1 olarak bulunur.

Teoremin geçerlilik şartlarına göz atalım. Sadece 2 şart var. Birincisi çokgenin köşelerinin noktalar üzerinde olması, ikincisi ise kenarların birbirini kesmemesi. Bu iki şart sağlandığında şekili üçgenlere, dikdörtgenlere, deltoidlere, yamuklara bölmeye gerek kalmadan sadece nokta sayılarına bağlı bu fonksiyon ile alan hesabı yapabilmek mümkün. Şimdi isterseniz yukarıdaki soruyu Pick teoremi ile çözelim.

Daha kolay görebilmeniz açısından noktaları renklendirdim. İçerideki noktaları sarıya, kenar üzerindekileri ise kırmızıya boyadım.

0e036a122d099ab9e0b1844fa83c59f3.png


Formüle uyarlayalım.
A=İ+K/2-1=4+12/2-1=4+6-1=9 bulunur. Şans eseri değil. Teoremin mükemmelliği. :)


Son olarak bildiğinizi varsaydığım (belki de varsaymamış olmam gereken) birkaç şeyi de belirtip yazıyı bitireyim.

Alan bir varsayımdır. Birime indirgediğiniz alanı tanım kabul ettiğiniz takdirde diğer sayılar için de alan hesabı yapmak mümkün oluyor. Dolayısıyla,

Bir kenarı a olan karenin alanı a*a=a^2

Bir kenarı a, diğeri b olan dikdörtgenin alanı a*b

Tabanı a, yüksekliği h olan üçgenin alanı (a*h)/2

Köşegenlerinden biri a, diğeri b olan bir deltoidin alanı (a*b)/2

Teorem: Doğru olduğu kanıtlanmış ifade veya önerme



İyi ve kötü yönde eleştirilerinizi sabırsızlıkla bekliyorum. :)
 
Son düzenleme:
Üst

Turkhackteam.org internet sitesi 5651 sayılı kanun’un 2. maddesinin 1. fıkrasının m) bendi ile aynı kanunun 5. maddesi kapsamında "Yer Sağlayıcı" konumundadır. İçerikler ön onay olmaksızın tamamen kullanıcılar tarafından oluşturulmaktadır. Turkhackteam.org; Yer sağlayıcı olarak, kullanıcılar tarafından oluşturulan içeriği ya da hukuka aykırı paylaşımı kontrol etmekle ya da araştırmakla yükümlü değildir. Türkhackteam saldırı timleri Türk sitelerine hiçbir zararlı faaliyette bulunmaz. Türkhackteam üyelerinin yaptığı bireysel hack faaliyetlerinden Türkhackteam sorumlu değildir. Sitelerinize Türkhackteam ismi kullanılarak hack faaliyetinde bulunulursa, site-sunucu erişim loglarından bu faaliyeti gerçekleştiren ip adresini tespit edip diğer kanıtlarla birlikte savcılığa suç duyurusunda bulununuz.