Bayes Teoremi: Nedir, Formülü ve Örnekler
Bayes Teoremi, 18. yüzyılda yaşamış İngiliz matematikçi Thomas Bayes'in adını taşıyan ve koşullu olasılığı belirlemek için kullanılan bir matematiksel formüldür. Koşullu olasılık, benzer koşullarda daha önceki bir sonuca dayanarak bir sonucun gerçekleşme olasılığıdır. Bayes Teoremi, mevcut tahminleri veya teorileri yeni veya ek kanıtlar ışığında güncellemenin (olasılıkları güncellemenin) bir yolunu sunar.
Finans alanında, Bayes Teoremi, potansiyel borçlulara para verme riskini değerlendirmek için kullanılabilir. Bu teorem, aynı zamanda Bayes Kuralı veya Bayes Yasası olarak da bilinir ve Bayesçi istatistik alanının temelini oluşturur.
Bayes Teoremi, 18. yüzyılda yaşamış İngiliz matematikçi Thomas Bayes'in adını taşıyan ve koşullu olasılığı belirlemek için kullanılan bir matematiksel formüldür. Koşullu olasılık, benzer koşullarda daha önceki bir sonuca dayanarak bir sonucun gerçekleşme olasılığıdır. Bayes Teoremi, mevcut tahminleri veya teorileri yeni veya ek kanıtlar ışığında güncellemenin (olasılıkları güncellemenin) bir yolunu sunar.
Finans alanında, Bayes Teoremi, potansiyel borçlulara para verme riskini değerlendirmek için kullanılabilir. Bu teorem, aynı zamanda Bayes Kuralı veya Bayes Yasası olarak da bilinir ve Bayesçi istatistik alanının temelini oluşturur.
Önemli Noktalar
- Bayes Teoremi, yeni bilgiler ekleyerek bir olayın tahmini olasılıklarını güncellemenizi sağlar.
- Bayes Teoremi, 18. yüzyıl matematikçisi Thomas Bayes'in adını almıştır.
- Finans alanında, risk değerlendirmesini hesaplamak veya güncellemek için sıkça kullanılır.
- Teorem, işlemlerini gerçekleştirmek için gereken yüksek hesaplama kapasitesi nedeniyle iki yüzyıl boyunca kullanılmamıştır.
:max_bytes(150000):strip_icc():format(webp)/Bayes_Theorem-v2-6d6b2a2293c648ec99f16f78a3c80f09.png)
Bayes Teoreminin uygulama alanları geniştir ve sadece finansal alanla sınırlı değildir. Örneğin, Bayes Teoremi, bir kişinin belirli bir hastalığa yakalanma olasılığını ve testin genel doğruluğunu dikkate alarak tıbbi test sonuçlarının doğruluğunu belirlemek için kullanılabilir. Bayes Teoremi, önceki olasılık dağılımlarını (önsel olasılıklar) kullanarak sonradan elde edilen olasılıkları (artgelen olasılıklar) üretmeye dayanır.
Bayesçi istatistiksel çıkarımda, önsel olasılık, yeni veriler toplanmadan önce bir olayın gerçekleşme olasılığıdır. Başka bir deyişle, bir deney gerçekleştirilmeden önce, mevcut bilgiye dayalı olarak belirli bir sonucun olasılığına dair en iyi rasyonel değerlendirmeyi temsil eder.
Artgelen olasılık ise yeni bilgilerin değerlendirilmesinden sonra bir olayın gerçekleşme olasılığının güncellenmiş halidir. Artgelen olasılık, Bayes Teoremi kullanılarak önsel olasılığın güncellenmesiyle hesaplanır. İstatistiksel terimlerle, artgelen olasılık, B olayı gerçekleştiğinde A olayının gerçekleşme olasılığıdır.
Özel Durumlar
Bayes Teoremi, bir olayın, o olayla ilgili olabilecek yeni bilgilere dayanarak olasılığını verir. Ayrıca, olayın gerçekleşme olasılığının, varsayımsal yeni bilgilerle nasıl etkilenebileceğini belirlemek için de kullanılabilir; bu yeni bilgilerin doğru olacağı varsayılır.
Örneğin, 52 kartlık bir desteden tek bir kart çekmeyi düşünelim. Destedeki dört kral vardır, bu nedenle kartın bir kral olma olasılığı 4/52'dir, bu da 1/13 veya yaklaşık %7,69 eder. Şimdi, seçilen kartın bir yüz kartı olduğu ortaya çıkarsa, seçilen kartın bir kral olma olasılığı, destede 12 yüz kartı olduğu için 4/12 veya yaklaşık %33,3 olur.
Bayes Teoremi Formülü
P(A): A olayının gerçekleşme olasılığı
P(B): B olayının gerçekleşme olasılığı
P(A∣B): B gerçekleştiğinde A'nın gerçekleşme olasılığı
P(B∣A): A gerçekleştiğinde B'nin gerçekleşme olasılığı
P(A∩B): Hem A hem de B'nin gerçekleşme olasılığı
Bayes Teoremi Örnekleri
Bayes Teoremi'nin iki örneği aşağıda verilmiştir. İlk örnek, Amazon.com Inc. (AMZN) üzerinden bir hisse senedi yatırım örneğiyle formülün nasıl türetilebileceğini gösterir. İkinci örnek ise Bayes Teoremi'nin farmasötik ilaç testlerine uygulanmasını içerir.
Bayes Teoremi Formülünün Türetilmesi
Bayes Teoremi, koşullu olasılık aksiyomlarından basitçe türetilir. Bu, bir olayın, başka bir olayın gerçekleştiği göz önüne alındığında, olasılığını ifade eder. Örneğin, basit bir olasılık sorusu şu olabilir: "Amazon.com'un hisse fiyatının düşme olasılığı nedir?" Koşullu olasılık, bu soruyu bir adım ileri götürerek şöyle sorar: "Dow Jones Endüstri Ortalaması (DJIA) endeksi daha önce düştüğünde AMZN hisse fiyatının düşme olasılığı nedir?"
B olayı gerçekleştiğinde A'nın koşullu olasılığı şu şekilde ifade edilebilir:
Eğer (IF) A: "AMZN fiyatı düşer" ise, P(AMZN), AMZN'nin düşme olasılığıdır; ve B: "DJIA zaten düşmüş," ve P(DJIA), DJIA'nın düşme olasılığıdır; bu durumda, "DJIA düşüşü olduğunda AMZN'nin düşme olasılığı, AMZN fiyatının ve DJIA'nın düşmesi olasılığı ile DJIA endeksinin düşme olasılığı arasındaki oran" olarak ifade edilir.
P(AMZN|DJIA) = P(AMZN and DJIA) / P(DJIA)
P(AMZN ve DJIA), hem A hem de B'nin gerçekleşme olasılığıdır. Bu aynı zamanda, A'nın gerçekleşme olasılığı ile B'nin, A gerçekleştiğinde olma olasılığının çarpımına eşittir; bu, P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) olarak ifade edilir. Bu iki ifadenin eşit olması, Bayes Teoremi'ne yol açar, bu da şu şekilde yazılır:
P(AMZN) ve P(DJIA), Amazon ve Dow'un birbirinden bağımsız olarak düşme olasılıklarıdır.
Formül, P(AMZN) hipotezini görmek için kanıtı görmeden önceki olasılık ile kanıtı gördükten sonra P(AMZN|DJIA) hipotezinin olasılığı arasındaki ilişkiyi açıklar.
Bayes Teoremi’nin Sayısal Bir Örneği
Sayısal bir örnek olarak, bir ilaç kullanım testi düşünelim; bu test %98 doğruluk oranına sahiptir, yani testin, ilacı kullanan bir kişiye %98 doğru pozitif sonuç, kullanmayan bir kişiye ise %98 doğru negatif sonuç verdiği anlamına gelir.
Sonra, insanların %0,5'inin ilacı kullandığını varsayalım. Rastgele seçilen bir kişi için test pozitif çıktığında, kişinin gerçekten ilaç kullanıcısı olma olasılığını belirlemek için şu hesaplama yapılabilir:
A: Pozitif test sonucunun doğru olma olasılığı
B: İlaç kullanan insanların yüzdesi
A×B: Pozitif test sonucunun doğru olma olasılığı
(1−A)×(1−B): Negatif test sonucunun doğru olma olasılığı
Formül şu şekilde görünür:
( A x B ) / [ ( A x B ) + { ( 1 - A ) x ( 1 - B ) } ] = İlaç Kullanma olasılığı
Verilen değerlerle hesaplama şu şekilde olur:
(0.98 x 0.005) / [0.98 x 0.005) + {( 1 - 0.98)x ( 1- 0.005)}]=
0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%
Bayes Teoremi, bu senaryoda test pozitif çıktığında bile, kişinin İlaç kullanma olasılığının %19.76 olduğunu, kullanmama olasılığının ise %80.24 olduğunu gösterir.
Bayes Kuralı Ne İçin Kullanılır?
Bayes kuralı, güncellenmiş bir koşullu değişkenle bir olasılığı güncellemek için kullanılır. Yatırım analistleri, hisse senedi piyasasında olasılıkları tahmin etmek için kullanırlar, ancak birçok diğer sektörde de kullanılmaktadır.
Bayes Teoremi Neden Bu Kadar Güçlüdür?
Matematiksel olarak, iki olasılığın eşit olduğunu gösterir. İstatistik, yatırım veya diğer sektörlerde kullanıldığında, koşullu olasılıkları görmenizi sağlar.
Bayes Teoremi’ni Ne Zaman Kullanmanız Gerekir?
Başka bir koşulun, gerçekleşme olasılığını etkileyebileceği bir durumda bir şeyin olasılığını belirlemeniz gerektiğinde Bayes Teoremi'ni kullanırsınız.
Sonuç
En basit haliyle Bayes Teoremi, bir test sonucunu alır ve bu sonucu, diğer ilgili olaylar göz önüne alındığında koşullu olasılıkla ilişkilendirir. Yüksek olasılıklı yanlış pozitifler için teorem, belirli bir sonucun daha mantıklı bir olasılığını verir.
CyberRulz06 tarafından çevirilmiştir. Asıl makalede bulunan bâzı uzun detayları traşlayıp asıl çözümleri öne taşımaya çalıştım. Anlam bütünlüğü korunması için bazı kelimeler Türkçe de farklı çevirilmiştir ve orijinal görseller kullanılmıştır. İyi okumalar ve iyi forumlar
Hayes,A. (2024, March 30) Bayes' Theorem: What It Is, the Formula, and Examples Bayes' Theorem: What It Is, Formula, and Examples
