polinomlar

hantala

Kıdemli Üye
20 Tem 2007
3,279
33
HER YERDEYİM VALA:D
olinomlar
Tanım

a0,a1,a2,.....an reel sayılar ve n N olmak üzere , anxn + an – 1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 biçimindeki ifadelere , x’e göre yazılmış reel katsayılı polinom denir. Anxn teriminde an sayısına katsayı , n’ye de terimin derecesi denir.

En büyük dereceli terimin derecesi, polinomun dercesidir. Derece yerine kısaca “der” yazılır. Polinomlar P(x) , Q(x), ... ile gösterilir.

Reel katsayılı polinomların kümesi R|x| ile gösterilir. Katsayıları rasyonel sayılardan oluşan polinoma “rasyonel katsayılı polinom” denir.

Rasyonel katsayılı polinomların kümesi Q|x| tir. Katsayıları tam sayılardan oluşmuş , “tam katsayılı polinomların kümesi” de Z|x| tir.


Z|x| Q|x| R|x|

Örnek


a) x4 + 5x2 – 7x + 6

Çözüm

Dördüncü dereceden polinom.


b)x3 + + 4
x3 + + 4 = x3 + 3x-1 + 4 ifadesi polinom değildir. Çünkü –1 üssü doğal sayı değildir.

c)5x6 + + 1
5x6+ + 1= 5x6 + x1/2 + 1 ifadesi polinom değildir. Çünkü üssü doğal sayı değildir.

d)2x + 7
Birinci dereceden polinom.


e)x3 + x2 – 7x + 5

Üçüncü dereceden polinom.


SABİT POLİNOM

P(x) = a , (a R) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun dercesi sıfırdır.

Örnek


P(x) = 4
Q(x) = Polinomları sabit polinomlardır.
R(x) =

NOT

P(x) = 0 sıfır polinomu sabit polinomdur.
P(x) = 0 = 0 . x0 = 0 . x1 = 0 . x7 = ... yazılabileceğinden sıfır polinomunun dercesi belirsizdir. Bu nedenle sıfır polinomunun derecesi yoktur denir.

Örnek

P(2x – 3) = x4 + 2x2 – x + 5 ise P(1) in değerini bulunuz.

Örnek

P(2x – 3) = 4x2 + 6x + 1 olduğuna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm

2x – 3 = 1 => x = 2 yazılır.
P(4 – 3) = 16 + 8 – 2 + 5
P(1) = 24 + 3 = 27 bulunur.
Çözüm

P(2x - 3) ifadesinden P(x) i elde etmek için fonksiyonlarda olduğu gibi x yerine 2x-3 ün tersi yazılır.
P(2x – 3) = 4x2 + 6x + 1
P(x) = 4 ()2 + 6 () + 1
P(x) = 4 . + 3(x + 3) + 1
P(x) = x2 + 6x + 9 +3x + 9 + 1
P(x) = x2 + 9x + 19 olur.


İKİ DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR

P(x , y) = 3x4y3 + 5x3y + 6x – 2y + 5 ifadesi x ve y’ ye göre yazılmış reel katsayılı polinomdur. Bu polinomda

3x4y3 terimin derecesi 3 + 4 = 7
5x3y terimin derecesi 3 + 1 = 4
6x terimin derecesi 1
- 2y terimin derecesi 1
5 terimin derecesi 0


P(x , y) polinomunun derecesi 7 dir.


Örnek

P(x , y) = 2x3y2 – x2y + 2y – x + 2
P(1 , 2) nin değerini bulunuz.
Çözüm

X = 1 , y = 2 yazılır.
P (1 , 2) = 2 . 1 . 4 – 1 . 2 + 2 . 2 – 1 + 2
P (1 , 2) = 8 – 2 + 4 + 1 = 11 bulunur.














Örnek

X3 + 2x2 + 3x + 5 = (x2 + x + 1)(x + a) + bx+c
Eşitliğini sağlayan c kaçtır ?

Çözüm

X3 + 2x2 + 3x + 5 = x3 + ax2 + x2 + ax + x + a +bx + c
X3+ 2x + 3x + 5 = x3 + (a + 1)x2 + (a + b + 1)x +a +c
a+ 1 = 2 => a = 1
a + b + 1 = 3 => 1 + b + 1 = 3 => b = 1
a + c = 5 => 1 + c = 5 => c =4 olur.

Örnek

= + eşitliğini sağlayan A ‘nın değeri kaçtır?
Çözüm

= +

=

3x + 1 = A(2x + 3) + B(x – 2)
3x + 1 = 2Ax + 3A + Bx – 2B
3x + 1 = (2A + B)x + 3A – 2B
Buradan polinomların eşitliğine göre ,

2A + B = 3 A = 1 bulunur.
3A – 2B =1


İKİ POLİNOMUN EŞİTLİĞİ

Aynı dereceli iki polinomun , eşit dereceli terimlerinin katsayıları eşitse bu iki polinoma , eşit polinomlar denir.



KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + ... + a0 polinomunda x = 1 yazılırsa
Örnek

P(x) = (3x2 – 2x + 4).(x3 + 2x + 3) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz.
Çözüm

X = 1 yazılır
P(1) = (3 – 2 + 4).(1 + 2 + 3)
= 5 . 6
= 30 bulunur.
Örnek

P(3x + 4) = 5x3 – 7x2 – 3x + 5
Polinomu veriliyor. P(x) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz.

Çözüm

P(x) polinomunun katsayılar toplamı P(1) dir.
P(3x + 4) = p(1) => 3x + 4 = 1
X = - 1
P(3x + 4) polinomunda x = - 1 yazılırsa P(1) bulunur.
P(1) = 5(-1)3 – 7(-1)2 – 3(-1) + 5
= - 5 – 7 + 3 + 5
= - 4


P(1) = an + an – 1 + ... + a0 katsayılar toplamı bulunur.


SABİT TERİM


P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a0 polinomunda sabit terimi bulmak için x = 0 yazılır.
P (0) = a0 olur.

Örnek

P(2x + 4) = 3x2 – x + 7 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun sabit terimini bulunuz.
Çözüm

P(x) polinomunun sabit terimi P(0) dır.
P(2x + 4) polinomunda 2x + 4 = 0 => x = -2 yazlılır.
P(0) = 3(-2)2 – (-2) + 7
P(0) = 12 + 2 +7 = 21 olur.


POLİNOMLARDA TOPLAMA


İki polinom toplanırken dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır.

Örnek

P(x) = 3x3 – 7x2 + 6x + 2
Q(x) = 2x3 + x2 – 7x + 5
Polinomlarının toplamını bulunuz.
Çözüm

P(x) + Q(x) = (3x3 – 7x2 + 6x + 2) + (2x3 + x2 – 7x + 5)
= (3 + 2)x3 + (-7 + 1)x2 + (6 – 7)x + (2 + 5)
= 5x3 – 6x2 – x + 7 olur.



POLİNOMLARDA ÇARPMA


P(x) ve Q(x) gibi iki polinomun çarpımı , P(x) in her terimi , Q(x) in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak yapılır.
UYARI

M inci dereceden bir polinomla , n inci dereceden bir polinomun çarpımının (m + n) inci dereceden bir polinom olduğuna dikkat edilmelidir.


Derece[P(x) . Q(x)] = derece P(x) + derece Q(x)

Örnek

P(x) ve Q(x) iki polinomdur.
Q(x) = P(x2) . P(x3) ise Q(x) ‘ in derecesi nedir?

Çözüm

P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a0
P(x2) = an x2n + an-1 x2n-2 + ... + a0
P(x3) = an x3n + an-1 x3n-3 + ... +a0
Q(x) = P(x2) . P(x3)
Q(x) in derecesi 2n + 3n = 5n olur. 5 in katları olmalıdır.



POLİNOMLARDA BÖLME

P(x)’ in derecesi , Q(x) ‘ in derecesinden küçük olmamak ve K(x)’ in derecesi B(x)’ in derecesinden küçük olmak üzere ;
P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)
Eşitliğini sağlayan B(x) polinomuna, P(x)’in Q(x)’ e bölümü ve K(x) polinomuna da kalan denir. Tam sayıların bölmesinde olduğu gibi;



P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)

Bölünen Bölen Bölüm Kalan






NOT

K(x) = 0 ise P(x) polinomu, Q(x) polinomuna tam bölünüyor denir.



Örnek

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x + 2 polinomunu
Q(x) = x2 + x +1 polinomuna bölerek bölümü ve kalanı bulunuz.






Çözüm

2x3 + 3x2 + 5x + 2 x2 + x + 1
2x3 2x2 2x 2x + 1
x2 + 3x + 2
x2 x 1
2x + 1
Bölüm = 2x + 1
Kalan = 2x + 1

Örnek

P(x) polinomu x + 3 ile bölündüğünde bölüm x2 + x + 2 ve kalan 7 ise P(x) polinomu nedir?

Çözüm

P(x) = (x + 3) (x2 + x + 2) + 7
P(x) = x3 + x2 + 2x + 3x2 + 3x + 6 + 7
P(x) = x3 + 4x2 + 5x + 13
Örnek

P(x) polinomunun x + 2 ile bölünmesinde bölüm Q(x) ve kalan 3 tür. Q(x) polinomunun x – 1 ile bölümündeki kalan 6 dır. Buna göre , P(x) ‘ in (x2 + x – 2) ile bölünmesindeki kalan nedir?
Çözüm

P(x) = (x + 2) Q(x) + 3
Q(x) = (x – 1) . T(x) + 6 yazılır.
İlk eşitlikte Q(x) yerine ikinci eşitlik yazılır.
P(x) = (x + 2) [(x – 1) . T(x) + 6] + 3
= (x2 + x – 2) T(x) + 6x + 12 + 3
= (x2 + x – 2) T(x) + 6x + 15

Bölen Kalan
Kalan = 6x + 15 bulunur.




HORNER YÖNTEMİ


Bu yöntem , bölen polinom birinci dereceden bir polinom olduğunda kolaylık sağlar.


Örnek

P(x) = 3x3 – 5x2 + 2x + 4 polinomunu
Q(x) = x + 2 polinomuna bölerek bölüm ve kalanı bulunuz.







Çözüm

1)Böleni sıfır yapan x değeri bulunur.
x + 2 = 0 => x = - 2
2) Polinomun katsayıları aşşağıda görüldüğü gibi sıra ile (büyük dereceli terimden başlayarak) yazılır.


İlk terim olan 3 ile –2 nin çarpımı –5 in altına yazılır. –5 ile –6 toplanır. –2 ile -11 in çarpımı 2 nin altına yazılır. 2 ile 22 toplanır. –2 ile 24 çarpımı 4 ün altına yazılır ve toplanır. Son kalan sayı kalanı verir. Diğer sayılar bölümün katsayılarıdır.

Kalan = -44
Bölüm = 3x2 – 11x + 24 bulunur.

(Bölen birinci dereceden olduğundan , bölümün derecesi bölünenden bir derece küçüktür.)

Örnek

P(x) = x4 + ax2 + bx + c polinomunun
(x – 1)3 ile tam bölünebilmesi için c kaç olmalıdır?
Çözüm


a + 6 = 0 => a = -6
2a + b + 4 = 0 => - 12 + b + 4 = 0 => b = 8
a + b + c + 1 = 0 => - 6 + 8 + c + 1 = 0
=> c = - 3





BİR POLİNOMUN (ax + b) İLE BÖLÜMÜNDEKİ KALANI , BÖLME YAPMADAN BULMAK


P(x) = (ax + b) B(x) + K eşitliğinde ,
Ax + b = 0 => x = - yazılırsa ,
P(- ) = K olur.
Örnek

P(x) = x4 + 3x2 + ax + 2 polinomu x – 1
İle tam bölünebildiğine göre x – 2 ile bölümündeki kalan kaçtır?
Çözüm

P(x) polinomu (x – 1) ile bölünebildiğine göre
P(1) = 0 dır.
P(1) = 1 + 3 + a + 2 = 0
a = - 6
P(x) = x4 + 3x2 – 6x + 2
P(2) = 16 + 12 – 12 + 2 = 18

Örnek

P(x) = 3x2 + 5x + m polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan 8 ise m kaçtır?
Çözüm

x + 1 = 0 => x = -1
P(-1) = 8 dir.
P(-1) = 3 – 5 + m = 8
m = 10
Örnek

P(x) ve Q(x) polinomlarının x + 2 ile bölümünden kalanlar sırayla 3 ve –2 olduğuna göre a’ nın hangi değeri için xP(x) + aQ(x) polinomu x + 2 ile tam olarak bölünür?
Çözüm

P(-2) = 3 ve Q(-2) = -2
XP(x) + aQ(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalanı bulmak için x = -2 yazılır ve sıfıra eşitlenir.
-2P(-2) + aQ(-2) = 0
ð -2 . 3 + a . (-2) = 0
ð -6 – 2a = 0
ð a = - 3 bulunur.

Örnek

= x2 + x + 5 bağıntısı veriliyor. Q(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 4 olduğuna P(7) nin değeri nedir?
Çözüm

Q(x) polinomu (x – 2) ile bölündüğünde kalan 4 olduğuna göre Q(2) = 4 tür.
= x2 + x + 5 eşitliğinde x yerine 2 yazılırsa ,
= 4 + 2 + 5 => = 11
=> P(7) = 44 olur.



BİR POLİNOMUN (xn + a) İLE BÖLÜMÜNDEKİ KALANIN BULUNMASI

P(x) polinomunda xn yerine –a yazılarak , bu polinomun (xn + a) ile bölümündeki kalan bulunur.

Örnek

P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 1 polinomunun x2 + 1 ile bölümündeki kalan nedir?
Çözüm

x2 = -1 yazılır
P(x) = x2 . x + 3x2 + 2x + 1
K(x) = - x – 3 + 2x + 1
K(x) = x – 2

Örnek

P(x) = x35 + 3x21 + x14 + 5
Polinomunun x7 + ile bölümünden elde edilen kalan nedir?
Çözüm

x7 + = 0 => x7 = - yazılır.
P(x) = (x7)5 + 3(x7)3 + (x7)2 + 5
Kalan = (-)5 + 3(-)3 + (-)2 + 5
= - - 3 + 8 + 2 +5
= - 4- 6 + 7
= 7 - 10 olur.
Örnek

P(x) = x3 + 3x2 + ax + b polinomunun x2 – x + 1 ile bölümünden kalanın 7x – 5 olması için a + b toplamı kaç olmalıdır?
Çözüm

x2 – x + 1 = 0 => x2 = x – 1 yazılır.
Ve elde edilecek kalan 7x – 5 e eşitlenir.
P(x) = x3 + 3x2 + ax + b
K(x) = x . x2 + 3(x – 1) + ax + b
K(x) = x(x – 1) + 3x – 3 + ax + b
K(x) = x2 – x + 3x – 3 + ax + b
K(x) = ax + 3x + b – 4
K(x) = (a + 3)x + b – 4
(a + 3)x + b – 4 = 7x – 5
a + 3 = 7 => a = 4
b – 4 = -5 => b = -1
a + b = 4 – 1 = 3 olur.



NOT

P(x) polinomunun (ax + b)3 ile tam bölünebilmesi için P’(x) ve P”(x) türev polinomlarının da (ax + b) ile tam bölünmesi gerekir.
P(x) = (ax + b)3 . B(x)
P’(x) = 3a (ax + b)2 B(x) + (ax + b)3 B’(x)
P’(- ) = 0 olur.
Aynı şekilde P”(x) (ikinci türev) polinomununda (ax + b) ile tam bölündüğü gösterilir.
Örnek

P(x) = x4 + ax2 + bx + c polinomunun (x + 1)3 ile bölünebilmesi için c kaç olmalıdır?
Çözüm

P(x) = x4 + ax2 + bx + c
P’(x) = 4x3 + 2ax + b
P”(x) = 12x2 + 2a
P”(-1) = 12 + 2a = 0 => a = - 6
P’(-1) = - 4 – 2a + b = 0 => - 4 + 12 + b = 0 => b = - 8
P(-1) = 1 + a – b + c = 0 => 1 – 6 + 8 + c = 0
c = - 3 olur .
 
Üst

Turkhackteam.org internet sitesi 5651 sayılı kanun’un 2. maddesinin 1. fıkrasının m) bendi ile aynı kanunun 5. maddesi kapsamında "Yer Sağlayıcı" konumundadır. İçerikler ön onay olmaksızın tamamen kullanıcılar tarafından oluşturulmaktadır. Turkhackteam.org; Yer sağlayıcı olarak, kullanıcılar tarafından oluşturulan içeriği ya da hukuka aykırı paylaşımı kontrol etmekle ya da araştırmakla yükümlü değildir. Türkhackteam saldırı timleri Türk sitelerine hiçbir zararlı faaliyette bulunmaz. Türkhackteam üyelerinin yaptığı bireysel hack faaliyetlerinden Türkhackteam sorumlu değildir. Sitelerinize Türkhackteam ismi kullanılarak hack faaliyetinde bulunulursa, site-sunucu erişim loglarından bu faaliyeti gerçekleştiren ip adresini tespit edip diğer kanıtlarla birlikte savcılığa suç duyurusunda bulununuz.